Νέα μαθηματική θεωρία μπορεί να εξηγήσει τα μοτίβα στα δακτυλικά αποτυπώματα, τις σταφίδες, και τους μικροφακούς

Η ρυτίδωση μιας επιφάνειας είναι ένα μοτίβο που παρατηρείται συχνά στη φύση. Η σταφίδα, μια ζαρωμένη ρόγα σταφυλιού που στεγνώνει αργά, και τα δακτυλικά αποτυπώματα είναι δυο παραδείγματα. Ενώ, λοιπόν, αυτά τα μοτίβα έχουν παρατηρηθεί από πολύ καιρό στη φύση και πιο πρόσφατα σε πειράματα, οι επιστήμονες δεν ήταν σε θέση να βρουν ένα τρόπο να προβλέψουν πως προκύπτουν τέτοια μοτίβα σε καμπύλα συστήματα, όπως οι μικροφακοί.

Την απάντηση στο πρόβλημα αυτό προσπαθεί να δώσει μια ομάδα μαθηματικών και μηχανικών του MIT, που έχει αναπτύξει μια μαθηματική θεωρία, που επιβεβαιώθηκε με πειράματα, και προβλέπει πότε σχηματίζονται ρυτιδώσεις σε καμπυλωμένες επιφάνειες. Από τους υπολογισμούς τους, προσδιόρισαν ότι μια κύρια παράμετρος, η καμπυλότητα, καθορίζει τον τύπο του μοτίβου που σχηματίζεται: Όσο πιο καμπυλωμένη είναι μια επιφάνεια, τόσο περισσότερο τα μοτίβα στην επιφάνειά της μοιάζουν με πλέγμα όπως του κρυστάλλου.

Οι ερευνητές, θεωρούν πως η θεωρία τους-που δημοσιεύθηκε αυτή τη εβδομάδα στο περιοδικό Nature Materials-μπορεί να βοηθήσει στην εξήγηση, γενικά, για το πώς σχηματίζονται τα αποτυπώματα και οι ρυτίδες. «Αν δείτε το δέρμα, υπάρχει ένα σκληρό στρώμα ιστού και κάτω από αυτό ένα στρώμα πιο μαλακό και θα δείτε τα πρότυπα των ρυτιδώσεων που διαμορφώνουν τα δακτυλικά αποτυπώματα», λέει ο Jörn Dunkel, επίκουρος καθηγητής μαθηματικών στο MIT. «Θα μπορούσατε, καταρχήν, να προβλέψετε αυτά τα πρότυπα; Είναι ένα περίπλοκο σύστημα, αλλά φαίνεται να συμβαίνει κάτι γενικό, επειδή βλέπετε πολύ όμοια πρότυπα σε ένα τεράστιο φάσμα κλιμάκων».

Η ομάδα προσπάθησε να αναπτύξει μια γενική θεωρία για να περιγράψει πως σχηματίζονται οι ρυτίδες σε καμπυλωμένα αντικείμενα, ένας στόχος που αρχικά ήταν εμπνευσμένος από παρατηρήσει που έγιναν από τον συνεργάτη του Dunkel, τον Pedro Reis, αναπληρωτή καθηγητή στο Πολιτικών Μηχανικών.

Σε προηγούμενα πειράματα, ο Reis κατασκεύασε μπάλες από πολυμερή, σε μέγεθος μπάλας πινκ-πονκ, προκειμένου να διερευνήσει τι επιπτώσεις μπορούν να έχουν τα σχήματα της επιφάνειάς τους στη συμπεριφορά των σφαιρών. Ο ερευνητής παρατήρησε μια χαρακτηριστική αλλαγή των σχημάτων της επιφάνειας καθώς ο αέρας απορροφιόταν αργά. Καθώς η επιφάνεια της σφαίρας συμπιεζόταν άρχιζε να βαθουλώνει, σχηματίζοντας ένα μοτίβο κανονικών εξαγώνων πριν να δώσει τόπο σε μια περισσότερο μπερδεμένη, λαβυρινθώδη διαμόρφωση, όμοια με αυτή των δακτυλικών αποτυπωμάτων.

«Οι υπάρχουσες θεωρίες δεν μπορούσαν να εξηγήσουν γιατί βλέπαμε αυτά τα τελείως διαφορετικά μοτίβα», είπε ο Reis. Ο Denis Terwagne, ένας πρώην μεταδιδακτορικός φοιτητής στην ομάδα του Reis, ανέφερε αυτόν τον γρίφο σε ένα σεμινάριο του μαθηματικού τμήματος που παρακολουθούσαν ο Dunkel και ο μεταδιδακτορικός φοιτητής Norbert Stoop.Οι μαθηματικοί άρπαξαν την ευκαιρία και σύντομα ήλθαν σε επαφή με τον Reis για να συνεργαστούν.

Ερευνητές του MIT ανέπτυξαν μια μαθηματική εξίσωση που προβλέπει πως διαμορφώνονται τα μοτίβα στην επιφάνεια καμπυλωμένων αντικειμένων. Credit: Norbert Stoop

Ο Reis μοιράστηκε τα δεδομένα από τα προηγούμενα πειράματα, τα οποία οι Dunkel και Stoop χρησιμοποίησαν για να διαμορφώσουν μια γενικευμένη μαθηματική θεωρία. Σύμφωνα με τον Dunkel, υπάρχει ένα μαθηματικό πλαίσιο για την περιγραφή της ρυτίδωσης, υπό τη μορφή της ελαστικής θεωρίας, ένα πολύπλοκο σύνολο εξισώσεων που θα μπορούσε να εφαρμοστεί στα πειράματα του Reis για να προβλέψει τα μοτίβα που προκύπτουν σε προσομοιώσεις στον υπολογιστή. Ωστόσο, αυτές οι εξισώσεις ήταν πάρα πολύ περίπλοκες για να επισημάνουν πότε ακριβώς ορισμένα μοτίβα αρχίζουν να μορφοποιούνται, πόσο μάλλον τι προκαλεί μια τέτοια μορφοποίηση. Συνδυάζοντας ιδέες από τη μηχανική των ρευστών με την θεωρία ελαστικότητας οι Dunkel και Stoop παρήγαγαν μια απλοποιημένη εξίσωση η οποία προβλέπει με ακρίβεια τα μοτίβα των ρυτιδώσεων που βρήκαν ο Reis και η ομάδα του.

Αφού οι ερευνητές έλαβαν υπόψη τους πολλούς παράγοντες, όπως τι είδους ήταν οι έλξεις και οι κάμψεις και πόσο το υπόστρωμα της επιφάνειας επηρεάζει το μοτίβο και αφού τα συσχέτισαν με συντελεστές, κατάφεραν να διαμορφώσουν μια εξίσωση που προέβλεπε πως εξελίσσονταν τα μοτίβα, σε σχέση με τις δυνάμεις που δρουν στην επιφάνεια. Με τις προσομοιώσεις σε υπολογιστές επιβεβαιώθηκε ότι η εξίσωση που παρήχθη, πράγματι, ήταν σε θέση να αναπαράγει σωστά τα μοτίβα της επιφάνειας που παρατηρήθηκαν στα πειράματα. Επομένως ήταν σε θέση να προσδιορίσει τις κύριες παραμέτρους που διέπουν τη διαμόρφωση της επιφάνειας.

Όπως αποδεικνύεται, η καμπυλότητα είναι ένας κύριος παράγοντας που καθορίζει αν μια επιφάνεια καλύπτεται από εξαγωνικά ή περισσότερο λαβυρινθώδη μοτίβα. Όσο πιο καμπυλωμένο είναι ένα αντικείμενο, τόσο πιο κανονικά ρυτιδώνεται η επιφάνειά του. Το πάχος του κελύφους του αντικειμένου, επίσης παίζει ρόλο. Αν το εξωτερικό στρώμα είναι πολύ λεπτό σε σύγκριση με την καμπυλότητα, η επιφάνεια ενός αντικειμένου πιθανά να είναι μπερδεμένη, όμοια με ένα δακτυλικό αποτύπωμα. Αν το κέλυφος του σώματος είναι λίγο παχύτερο, η επιφάνεια θα σχηματίζει περισσότερο εξαγωνικά μοτίβα.

Παρόλο που η θεωρία της ομάδας βασίστηκε στις εργασίες με τις σφαίρες, εν τούτοις μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλα, πιο σύνθετα, σχήματα. Ένα από αυτά στα οποία εφαρμόστηκε είναι αυτό του ντόνατς. Η εξίσωση εφαρμόστηκε για να προβλέψει την μορφοποίηση της επιφάνειάς του και τώρα η πρόκληση είναι, η πρόβλεψη αυτή να αναπαραχθεί πειραματικά. Αν η πρόβλεψη επιβεβαιωθεί σε μελλοντικά πειράματα, ο Reis είναι σίγουρος ότι η νέα θεωρία θα εξυπηρετήσει για ως εργαλείο σχεδίασης για τους επιστήμονες να κατασκευάζουν σύνθετα αντικείμενα με διαμορφώσιμες επιφάνειες.

Πηγή: Massachusetts Institute of Technology

Περισσότερα στο άρθρο: Norbert Stoop, Romain Lagrange, Denis Terwagne, Pedro M. Reis & Jörn Dunkel, Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns, Nature Materials (2015)